Calculadoras actuariales

La narrativa. Un peso hoy no vale lo mismo que un peso dentro de diez años, y toda la actuaría vive de esa diferencia. Descontar y capitalizar flujos es el primer ladrillo: sobre él se apoyan las primas de un seguro, la reserva de una pensión y la valuación de un bono. La anualidad (una serie de pagos iguales) es la pieza que más se repite. Su valor presente \(a_{\overline{n}|}\) responde a la pregunta más frecuente del oficio: ¿cuánto vale hoy una promesa de pagos futuros? Cambiar la anualidad de vencida a anticipada (pagar al final o al inicio de cada periodo) la multiplica por \((1+i)\), un detalle que en pensiones mueve millones.

La narrativa. Un seguro de vida es una apuesta simétrica contra la mortalidad: la aseguradora cobra hoy y paga en una fecha incierta. El principio de equivalencia fija la prima igualando, en valor presente esperado, lo que entra y lo que sale. La prima única neta de un seguro entero es \(A_x\); repartida en pagos anuales mientras el asegurado viva, se convierte en \(P=A_x/\ddot a_x\). Como en los primeros años se cobra más de lo que el riesgo exige, se acumula una reserva: la deuda de la aseguradora con el asegurado, que crece y luego se libera. Esa reserva es el corazón del balance de una compañía de vida y de cualquier plan de pensiones de beneficio definido.

La narrativa. El promedio no quiebra a una aseguradora; la quiebra la cola. Por eso el actuario mide el riesgo por sus extremos. El Valor en Riesgo (VaR) es el cuantil: la pérdida que no se rebasará salvo con probabilidad \(1-p\). Es intuitivo, pero ciego a lo que pasa más allá de ese punto. La Pérdida esperada en la cola (TVaR, o CTE) corrige eso: es el promedio de las pérdidas una vez que se cruzó el VaR, así que siempre es mayor y sí distingue una cola gruesa de una delgada. Solvencia II y el enfoque de capital basado en riesgo mexicano se construyen sobre estas medidas, típicamente al 99.5%.

La narrativa. En seguros de daños los siniestros no se pagan el día que ocurren: tardan meses o años en reportarse y liquidarse. La aseguradora sabe lo que ya pagó, pero debe estimar lo que falta por pagar de accidentes que ya sucedieron: el IBNR (incurrido pero no reportado). El método Chain-Ladder es el caballo de batalla: ordena los pagos en un triángulo por año de accidente y año de desarrollo, calcula cuánto crece la fila típica de una columna a la siguiente (los factores de desarrollo) y proyecta hacia adelante cada año hasta su valor último. La diferencia entre ese último y lo ya pagado es la reserva. Edita el triángulo y observa cómo cambian los factores y el IBNR.

La narrativa. Un cliente tuvo pocos siniestros el año pasado. ¿Es bueno de verdad, o tuvo suerte? La credibilidad responde poniendo un peso \(Z\) entre 0 y 1 a su experiencia individual, y \(1-Z\) al comportamiento del colectivo. Con poca información, \(Z\) es pequeño y confiamos en el grupo; con mucha, \(Z\) tiende a 1 y dejamos hablar a los datos propios. La versión clásica (fluctuación limitada) fija cuántos siniestros hacen falta para credibilidad plena. La de Bühlmann es más elegante: \(Z=n/(n+K)\), donde \(K\) mide cuánta varianza viene del azar frente a las diferencias reales entre riesgos. Es, esencialmente, la misma idea del shrinkage que hoy regulariza los modelos de machine learning.