Contenido
1. Notación
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| $i$, $d$, $\delta$ | Tasa de interés efectiva, de descuento y fuerza de interés |
| $v=(1+i)^{-1}$ | Factor de descuento anual |
| $\ell_x$ | Número de vivos a edad $x$ en la tabla de mortalidad |
| $_tp_x$, $_tq_x$ | Probabilidad de sobrevivir / fallecer $t$ años desde edad $x$ |
| $A_x$, $\ddot a_x$ | VPA de un seguro de vida entera y de una anualidad vitalicia anticipada |
| $P$, $_tV$ | Prima neta nivelada y reserva al tiempo $t$ |
2. Teoría del interés
$$ (1+i) = (1+\tfrac{i^{(m)}}{m})^{m} = e^{\delta}, \qquad v=\frac{1}{1+i}, \qquad d = 1-v = iv $$
Equivalencia entre tasa efectiva, nominal capitalizable $m$ veces y fuerza de interés $\delta$.
$$ a_{\overline{n}|} = \frac{1-v^{n}}{i}, \qquad \ddot a_{\overline{n}|} = \frac{1-v^{n}}{d}, \qquad s_{\overline{n}|} = \frac{(1+i)^{n}-1}{i} $$
Valor presente de anualidad vencida y anticipada; valor futuro (acumulado) de una anualidad.
$$ (Ia)_{\overline{n}|} = \frac{\ddot a_{\overline{n}|} - n v^{n}}{i} $$
Anualidad creciente: pagos de 1, 2, …, $n$.
3. Mortalidad y supervivencia
$$ {}_{t}p_x = \frac{\ell_{x+t}}{\ell_x}, \qquad {}_{t}q_x = \frac{\ell_x-\ell_{x+t}}{\ell_x}, \qquad {}_{t|}q_x = {}_{t}p_x\, q_{x+t} $$
Supervivencia, mortalidad y mortalidad diferida (fallecer en el año $t{+}1$).
$$ \mu_x = -\frac{1}{\ell_x}\frac{d\ell_x}{dx}, \qquad {}_{t}p_x = \exp\!\left(-\int_0^{t}\mu_{x+s}\,ds\right) $$
Fuerza de mortalidad $\mu_x$ y su relación con la supervivencia continua.
4. Contingencias de vida
$$ A_x = \sum_{k=0}^{\infty} v^{k+1}\,{}_{k|}q_x, \qquad \ddot a_x = \sum_{k=0}^{\infty} v^{k}\,{}_{k}p_x $$
Seguro de vida entera (pago al fallecer) y anualidad vitalicia anticipada (pago mientras viva).
$$ A_x = 1 - d\,\ddot a_x, \qquad A^{1}_{x:\overline{n}|} + A_{x:\overline{n}|}{}^{\;1} = A_{x:\overline{n}|} $$
Relación seguro-anualidad y descomposición del seguro dotal mixto en su parte de fallecimiento y de supervivencia.
5. Primas netas
$$ P(A_x) = \frac{A_x}{\ddot a_x} = \frac{1}{\ddot a_x} - d $$
Prima neta nivelada de un seguro de vida entera, por el principio de equivalencia.
$$ P_{x:\overline{n}|} = \frac{A_{x:\overline{n}|}}{\ddot a_{x:\overline{n}|}} $$
Prima neta de un seguro dotal mixto a $n$ años.
6. Reservas matemáticas
$$ {}_{t}V = A_{x+t} - P(A_x)\,\ddot a_{x+t} $$
Reserva prospectiva: valor presente de beneficios futuros menos el de primas futuras.
$$ {}_{t}V = \frac{A_{x+t}-A_x}{1-A_x} = 1 - \frac{\ddot a_{x+t}}{\ddot a_x} $$
Formas equivalentes de la reserva para el seguro de vida entera.
7. Teoría del riesgo
$$ S = \sum_{i=1}^{N} X_i, \qquad E[S]=E[N]\,E[X], \qquad \operatorname{Var}(S)=E[N]\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(N)\,E[X]^2 $$
Modelo colectivo del riesgo: monto agregado de siniestros y su varianza (fórmula de composición).
$$ \Pi = E[S] + \theta\,\sigma_S \quad\text{(recargo por desviación)}, \qquad \psi(u)\le e^{-Ru} \;\text{(desigualdad de Lundberg)} $$
Prima con recargo de seguridad y cota de la probabilidad de ruina $\psi(u)$ con coeficiente de ajuste $R$.
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