¿Cuánto peso debe darse a la experiencia propia de un riesgo frente a la del colectivo? La credibilidad da la respuesta óptima.
Un asegurado tuvo una siniestralidad muy por encima del promedio del año pasado. ¿Debemos cobrarle según su propia experiencia (escasa y volátil) o según la prima del grupo (estable pero impersonal)? La teoría de la credibilidad resuelve este dilema mediante una media ponderada:
donde $\bar{X}$ es la experiencia individual observada, $\mu$ la prima colectiva (o a priori), y $Z\in[0,1]$ el factor de credibilidad: cuánta confianza merece la experiencia propia. Cuanta más información (exposición) y menos heterogeneidad, mayor $Z$. Las distintas escuelas de la credibilidad difieren en cómo se calcula $Z$.
El enfoque "americano" (Mowbray, 1914): exigir suficiente volumen para que la experiencia sea estadísticamente estable.
Número esperado de siniestros para asignar $Z=1$, de modo que la observación caiga dentro de $\pm r$ de la media con probabilidad $1-\alpha$. Estándar típico: $\pm5\%$ al $90\%$ ⇒ 1 082 siniestros.
Cuando el volumen $n$ no alcanza el estándar de plena credibilidad $n_F$, se otorga credibilidad parcial proporcional a la raíz del cociente de exposiciones.
Para la prima pura (frecuencia × severidad) el estándar de plena credibilidad incorpora el coeficiente de variación de la severidad $Y$, exigiendo más datos cuando los montos son dispersos.
El enfoque clásico es simple pero arbitrario: el estándar de plena credibilidad y la forma del descuento no se derivan de un criterio de optimalidad. La credibilidad de mayor exactitud (Bühlmann) corrige esto.
Hans Bühlmann (1967) derivó el factor $Z$ como la mejor aproximación lineal a la prima bayesiana, minimizando el error cuadrático esperado. Es la base de la tarificación moderna.
$\mu$: media colectiva. $v$ = Expected Process Variance (variabilidad dentro del riesgo). $a$ = Variance of Hypothetical Means (heterogeneidad entre riesgos).
$Z$ crece con la exposición $n$ y con la heterogeneidad entre riesgos $a$; decrece con el ruido interno $v$. Si todos los riesgos fueran idénticos ($a=0$), $Z=0$.
Minimiza $E[(P_c-\mu(\Theta))^2]$ entre todos los estimadores lineales en las observaciones. De ahí el nombre "credibilidad de mayor exactitud".
Generaliza Bühlmann a riesgos con distinta exposición por periodo (tamaño de cartera, años-póliza). Es el modelo que se usa en la práctica del ramo de daños.
La prima de credibilidad ideal es la media a posteriori $E[\mu(\Theta)\mid \mathbf{X}]$: actualizamos la creencia a priori sobre el parámetro de riesgo $\Theta$ con la experiencia observada vía el teorema de Bayes. En general esta media a posteriori no es lineal, pero para ciertas familias conjugadas coincide exactamente con la fórmula de Bühlmann; entonces se habla de credibilidad exacta.
| Modelo (verosimilitud / a priori) | Posterior | Credibilidad |
|---|---|---|
| Poisson / Gamma | Gamma | Exacta (lineal) |
| Binomial / Beta | Beta | Exacta (lineal) |
| Normal / Normal | Normal | Exacta (lineal) |
| Exponencial / Gamma | Gamma | Exacta (lineal) |
En la práctica los parámetros estructurales $\mu$, $v$ y $a$ no se conocen: se estiman a partir de los datos de toda la cartera (credibilidad no paramétrica o empirical Bayes). Así, la experiencia colectiva calibra el modelo que luego se aplica a cada riesgo individual.
La credibilidad es la antesala conceptual de los modelos lineales mixtos y de los modelos jerárquicos bayesianos modernos usados en pricing, donde el factor $Z$ reaparece como el encogimiento (shrinkage) de los efectos aleatorios hacia la media global.