De la distribución de pérdidas y sus medidas de riesgo (VaR, TVaR) a las funciones de pérdida que guían la estimación, la tarificación y la decisión bajo incertidumbre.
En el mundo actuarial la expresión loss function tiene dos acepciones complementarias, ambas centrales para la gestión del riesgo:
Esta página recorre ambas: primero modelamos la pérdida, luego la resumimos con medidas de riesgo, y finalmente usamos funciones de pérdida para decidir de forma óptima.
La pérdida de una cartera combina cuántos siniestros ocurren (frecuencia) y cuánto cuesta cada uno (severidad).
$N$ es la frecuencia (Poisson, Binomial Negativa) y $Y_i$ las severidades i.i.d. independientes de $N$. $S$ es la pérdida total de la cartera en el periodo.
Descompone la incertidumbre total en variabilidad de severidad y de frecuencia. Para $N\sim$ Poisson$(\lambda)$ se simplifica a $\mathrm{Var}(S)=\lambda\,E[Y^2]$.
Calcula la distribución de $S$ cuando $N$ pertenece a la clase $(a,b,0)$ (Poisson, Binomial, Binomial Negativa) y la severidad es discreta/aritmetizada.
Las grandes pérdidas (catástrofes, responsabilidad civil) siguen colas pesadas. Con $\alpha\le 2$ la varianza es infinita; con $\alpha\le1$ ni la media existe. Modelar la cola es crítico para el reaseguro y el capital.
Una medida de riesgo $\rho(S)$ traduce toda la distribución de pérdidas a una cifra de capital o prima. La elección de la medida importa: VaR y TVaR pueden discrepar mucho en la cola.
El nivel de pérdida que no se excede con probabilidad $\alpha$ (p. ej. 99.5% en Solvencia II). Simple, pero no es coherente: puede penalizar la diversificación.
Promedio de las pérdidas que superan el VaR. Captura la severidad de la cola y sí es coherente. También llamada CTE o Expected Shortfall (Basilea/Solvencia II la favorecen).
Una medida coherente cumple monotonía, homogeneidad positiva, invarianza por traslación y subaditividad (la diversificación no aumenta el riesgo). TVaR la cumple; VaR no, en general.
Principio de varianza y de desviación estándar: la prima supera la pérdida esperada con un recargo proporcional a la dispersión. El principio de Esscher pondera con $e^{hS}$.
Cuando estimamos una reserva o una prima, una función de pérdida $L(\theta,\hat\theta)$ define qué error es aceptable. El estimador óptimo minimiza la pérdida esperada, y la forma de $L$ determina cuál es.
Bajo pérdida cuadrática el estimador óptimo es la media a posteriori. Es la base de la credibilidad de Bühlmann y de la regresión por mínimos cuadrados.
La pérdida absoluta conduce a la mediana; más robusta frente a valores extremos. Generaliza a cuantiles con la pérdida "pinball", base de la regresión cuantílica.
Penaliza de forma distinta sub- y sobre-estimación. Relevante en reservas: quedarse corto (insolvencia) cuesta más que excederse, lo que justifica márgenes de prudencia.
En tarificación, los GLM ajustan la prima pura minimizando la deviance: Poisson para frecuencia, Gamma para severidad y Tweedie para la prima pura directa. Es la función de pérdida del modelo de pricing.
Modelar la pérdida, medir su riesgo y elegir una función de pérdida para decidir son tres caras del mismo problema: convertir la incertidumbre en una cifra accionable, una prima, una reserva, un requerimiento de capital, de la forma menos costosa posible según un criterio explícito.