Tablas de mortalidad y longevidad

Una tabla de mortalidad resume, edad por edad, la probabilidad de que una persona fallezca antes de cumplir un año más. De esa columna de números se derivan todas las demás funciones biométricas: sobrevivientes, defunciones, fuerza de mortalidad y esperanza de vida. Con ellas se calculan primas de seguros de vida, montos constitutivos de rentas vitalicias, obligaciones por beneficios definidos bajo NIF D-3 y requerimientos de capital.

El problema técnico no es aplicar la tabla, sino elegirla. Una tabla construida con población general no describe a los asegurados, que pasan por selección médica y tienen otro nivel socioeconómico; una tabla de periodo, fija en el calendario, subestima la vida futura de quien hoy tiene 65 años porque ignora que la mortalidad seguirá bajando. Esa diferencia es el riesgo de longevidad, y en una cartera de rentas vitalicias puede valer varios puntos porcentuales de la reserva.

La página complementa los resúmenes de mortalidad de Cálculo actuarial y del Formulario: aquí el énfasis está en cómo se construye, se proyecta y se regula una tabla, con un ejemplo numérico completo y el mapa de tablas vigentes en la Circular Única de Seguros y Fianzas (CUSF).

La tabla parte de una cohorte hipotética de l₀ recién nacidos (el radix, típicamente 100,000) sometida a las tasas de mortalidad observadas. Cada columna responde una pregunta distinta: cuántos siguen vivos a la edad x, cuántos mueren entre x y x+1, qué fracción de los vivos muere y cuántos años les quedan en promedio. Todas son transformaciones de una sola: la serie de q_x.

La fuerza de mortalidad μ_x es la versión instantánea de q_x: la tasa de fallecimiento por unidad de tiempo para quien tiene exactamente la edad x. Es la función natural para modelar, porque la supervivencia es la exponencial de su integral y porque las leyes analíticas (Gompertz, Makeham) se escriben sobre μ_x. Para edades adultas y valores pequeños se cumple μ_x+1/2 es aproximadamente q_x, aproximación útil para revisar cálculos a mano.

La esperanza de vida tiene dos versiones. La completa, e̊_x, integra la curva de supervivencia en tiempo continuo; la abreviada o curtate, e_x, cuenta solo años completos. Si las muertes se reparten de manera uniforme dentro de cada año de edad, e̊_x es aproximadamente e_x + 1/2. Confundirlas en una valuación introduce un sesgo de medio año en cada vida.

Benjamin Gompertz observó en 1825 que, en la edad adulta, la fuerza de mortalidad crece de forma aproximadamente geométrica: cada año de edad la multiplica por un factor constante c. William Makeham añadió en 1860 un término constante A que no depende de la edad y representa causas accidentales. Con tres parámetros, la ley de Makeham reproduce con buena precisión la mortalidad entre 30 y 90 años, lo que la hace útil para suavizar datos ruidosos, extrapolar edades con poca exposición y construir calculadoras.

El parámetro c tiene una lectura directa: el tiempo de duplicación de la parte senescente de la mortalidad es ln 2 / ln c. Con c = 1.095 la mortalidad se duplica cada 7.6 años, valor típico de poblaciones modernas. B fija el nivel de la curva y A la meseta de mortalidad accidental que domina en la juventud. Como la integral de B c^x es cerrada, la supervivencia tiene fórmula explícita, sin necesidad de integración numérica.

En la práctica los parámetros se estiman por máxima verosimilitud suponiendo que las muertes observadas D_x siguen una Poisson con media E_x·μ_x+1/2, donde E_x es la exposición central. Por encima de 95 años la ley tiende a sobrestimar la mortalidad porque los datos muestran una desaceleración; para cerrar la tabla se usan modelos logísticos como Perks o Kannisto, o se fija una edad límite con q_ω = 1. Cuando no se busca una ley paramétrica, la graduación se hace con Whittaker-Henderson o con splines penalizados.

Construir una tabla es un ejercicio estadístico con cuatro etapas. Primero se arma la base: cada asegurado aporta exposición desde que entra al estudio hasta que muere, cancela o termina la observación, y se registran las muertes por edad y sexo. Segundo, se calculan tasas brutas m_x = D_x/E_x y se convierten a q_x. Tercero, se gradúan para eliminar el ruido aleatorio sin borrar la forma real de la curva. Cuarto, se valida la tabla graduada contra los datos con pruebas de bondad de ajuste (ji cuadrada, rachas de signos, desviaciones estandarizadas por edad).

La experiencia asegurada difiere de la poblacional por tres efectos. La selección médica hace que los recién asegurados mueran menos durante los primeros años de póliza; por eso existen tablas select y ultimate. La autoselección de quienes compran rentas vitalicias los hace más longevos que la población. Y el nivel socioeconómico del asegurado lo separa del promedio nacional. Por eso una tabla poblacional casi nunca se aplica sin ajuste a una cartera asegurada.

El margen de prudencia depende del uso. Para un seguro de fallecimiento, una tabla con mortalidad alta es conservadora; para una renta vitalicia, lo conservador es mortalidad baja. Una misma aseguradora puede necesitar dos tablas distintas para dos productos, y el regulador mexicano refleja esa asimetría al usar tablas con mortalidad más baja para calcular el capital de las rentas que para su reserva.

Una tabla de periodo describe la mortalidad de un año calendario: toma q₆₅ de 2026, q₆₆ de 2026, q₆₇ de 2026, y así sucesivamente. Nadie vive así, porque quien hoy tiene 65 años tendrá 66 en 2027 y enfrentará la mortalidad de 2027, que será menor. Una tabla generacional sigue a la cohorte por la diagonal de una matriz edad por año: q₆₅ de 2026, q₆₆ de 2027, q₆₇ de 2028. Con la tabla EMSSAH-15 y sus factores de mejora de la CUSF, la esperanza de vida de un hombre de 65 años en 2026 es de 20.0 años con la tabla de periodo y de 20.7 con la generacional; para mujeres, con EMSSAM-15, de 22.5 y 23.4 años.

La forma operativa de pasar de una tabla base a una generacional es aplicar factores de mejora por edad. Si la mortalidad a la edad x baja a una tasa anual constante TM_x, la probabilidad proyectada al año base + t es q_x multiplicada por (1 - TM_x)^t. La CUSF usa exactamente esta expresión para los seguros de pensiones derivados de las leyes de seguridad social, con factores por sexo publicados en anexo. En Estados Unidos, la Society of Actuaries publica escalas bidimensionales (edad y año) de la familia MP, en las que la mejora converge gradualmente a una tasa de largo plazo.

Los factores de mejora no son constantes en la realidad. Hay efectos de cohorte (generaciones que mejoraron más rápido que las vecinas), choques transitorios como la pandemia de COVID-19, que elevó la mortalidad de 2020 y 2021 en México y en casi todo el mundo, y cambios estructurales por enfermedades crónicas. Por eso la elección de la tasa de mejora de largo plazo es una hipótesis que debe documentarse y someterse a sensibilidad.

Ronald Lee y Lawrence Carter publicaron en 1992 un modelo que se volvió el estándar para proyectar mortalidad. Descompone el logaritmo de la tasa central en un perfil medio por edad a_x, un índice temporal k_t que resume el nivel general de la mortalidad en el año t, y una sensibilidad b_x que indica cuánto responde cada edad a los movimientos de k_t. Para que el modelo esté identificado se impone que los b_x sumen uno y los k_t sumen cero.

La estimación clásica usa la descomposición en valores singulares de la matriz centrada ln m_x,t - a_x, seguida de un reajuste de k_t para que las muertes totales ajustadas coincidan con las observadas. Después, k_t se proyecta como una caminata aleatoria con deriva: la deriva estimada da la tendencia central y la varianza de las innovaciones da intervalos de predicción. Con esos intervalos se generan escenarios estocásticos de longevidad, útiles para capital económico.

Sus limitaciones son conocidas: un solo factor temporal obliga a que todas las edades mejoren de manera perfectamente correlacionada, y no capta efectos de cohorte. Las extensiones más usadas son Renshaw-Haberman (añade un término de cohorte), Cairns-Blake-Dowd (modela directamente logit q_x en edades avanzadas con dos factores) y los modelos edad-periodo-cohorte. La estimación moderna se hace por máxima verosimilitud Poisson con paquetes como StMoMo en R.

El riesgo de longevidad tiene dos componentes. El idiosincrático es la variación aleatoria de cuándo muere cada pensionado; se diversifica con el tamaño de la cartera, porque su desviación relativa decrece con la raíz cuadrada del número de vidas. El sistemático es el error en la tendencia: si toda la población vive más de lo proyectado, ninguna cartera, por grande que sea, lo diversifica. Es el que exige capital.

La sensibilidad se mide recalculando el pasivo con un choque a la mortalidad. Un choque permanente de -20% sobre μ_x a todas las edades es una referencia habitual en marcos de solvencia; en una renta vitalicia a 65 años con tasa técnica real de 3.5%, eleva el valor presente en alrededor de 7%, como muestra el ejemplo de esta página. El efecto crece cuanto más baja es la tasa de descuento y más joven el rentista, porque los flujos lejanos pesan más.

Las herramientas de gestión son la reserva con tabla generacional, la reserva matemática especial que la LISF exige para los seguros de pensiones de la seguridad social, el reaseguro de longevidad, los swaps de longevidad (se intercambian pagos reales de rentas por pagos fijos según una tabla acordada) y la compra de carteras en bloque por reaseguradores especializados. En planes de beneficio definido de empresas, el mismo riesgo aparece en la OBD de jubilación bajo NIF D-3.

La LISF, en sus artículos 216 y 217, obliga a las aseguradoras que operan pensiones de la seguridad social a constituir una reserva matemática especial cuyo propósito es hacer frente a las posibles mejoras en la esperanza de vida de la población asegurada. Las bases biométricas de ese ramo están fijadas por la CUSF en el Capítulo 14.2. Las pólizas anteriores al nuevo esquema operativo se valúan con las tablas EMSSAH-97 y EMSSAM-97; las del nuevo esquema, con EMSSAH-09 y EMSSAM-09 proyectadas con factores de mejora de base 2009 cuando la oferta en el SAOR se hizo antes del 18 de noviembre de 2022, y con EMSSAH-15 y EMSSAM-15 proyectadas con factores de base 2022 cuando la oferta es posterior. La disposición 14.2.7 establece la proyección q_x^2022+t = q_x²⁰²²(1 - TM_x)^t y exige usar la diagonal de la matriz resultante: es una tabla generacional por mandato.

Para el requerimiento de capital de solvencia de pensiones, la CUSF usa tablas con mortalidad deliberadamente más baja: EMSSAH-RCS-09 da q₆₅ = 0.00808 frente a 0.01512 de EMSSAH-09, y EMSSAH-RCS-15 da 0.01328 frente a 0.01807 de EMSSAH-15. La diferencia entre ambas valuaciones funciona como el choque de longevidad del capital. Para seguros de vida con temporalidad mayor a un año valuados con el método estatutario, el Anexo 5.3.3-a fija la tabla CNSF M 2013 (mixta, sin distinción de sexo), junto con experiencias de invalidez, muerte accidental y otros beneficios.

Fuera del sector asegurador, la referencia demográfica oficial es la Conciliación Demográfica de México 1950-2019 y las Proyecciones de la Población de México y de las Entidades Federativas 2020-2070, publicadas por el Consejo Nacional de Población (CONAPO). Se usan para valuaciones de seguridad social, estudios de sistemas estatales de pensiones y como punto de comparación en valuaciones de beneficios a empleados, donde el actuario puede adoptar tablas de mercado o de experiencia propia siempre que justifique la elección.