Teoría del riesgo y de la ruina

La teoría del riesgo estudia la distribución del costo agregado de una cartera de seguros; la teoría de la ruina estudia qué le pasa al capital de la aseguradora cuando ese costo se acumula en el tiempo frente a un flujo de primas. Filip Lundberg planteó el modelo en su tesis de 1903 y Harald Cramér le dio forma rigurosa a partir de 1930. Más de un siglo después, sus resultados siguen siendo la mejor intuición disponible sobre la relación entre precio, volatilidad y capital.

El modelo es deliberadamente simple: primas que llegan de forma continua a tasa constante, reclamaciones que llegan según un proceso de Poisson con montos independientes, sin inversiones ni gastos. Esa simplicidad permite obtener fórmulas cerradas y leer en ellas qué variables mandan. La primera lección es que sin recargo de seguridad la ruina es segura; la segunda, que con recargo la probabilidad de ruina decae exponencialmente con el capital inicial, a una velocidad que depende de la cola de las reclamaciones.

Esta guía amplía el resumen de Cálculo actuarial y del Formulario, desarrolla un ejemplo numérico completo con reaseguro y compara la probabilidad de ruina con el enfoque de valor en riesgo a un año que usa el requerimiento de capital de solvencia en México.

El superávit de la aseguradora al tiempo t es el capital inicial u más las primas cobradas ct menos las reclamaciones acumuladas S(t). Las reclamaciones llegan según un proceso de Poisson de intensidad λ y sus montos X₁, X₂, ... son independientes, idénticamente distribuidos, con media μ, e independientes del número de reclamaciones. La prima se fija con un recargo de seguridad θ sobre el costo esperado: c = (1 + θ)λμ.

La ruina ocurre en el primer instante en que el superávit se vuelve negativo. La probabilidad de ruina en horizonte infinito, ψ(u), es la probabilidad de que eso pase alguna vez; la de horizonte finito, ψ(u, T), solo considera el intervalo [0, T]. Si θ es cero o negativo, la ley de los grandes números garantiza que el superávit tiende a menos infinito o que oscila, y ψ(u) = 1 para todo u. La condición θ > 0 se llama condición de beneficio neto.

Un resultado notable y válido para cualquier distribución de reclamaciones es que, sin capital inicial, ψ(0) = 1/(1 + θ). Con un recargo de 25%, una aseguradora que empieza sin capital quiebra con probabilidad 80%: el recargo solo protege si hay capital para absorber las primeras fluctuaciones.

El coeficiente de ajuste R es la única raíz positiva de la ecuación de Lundberg, que iguala el crecimiento esperado del superávit con la función generadora de momentos de las reclamaciones. Intuitivamente, R mide qué tan rápido las primas dominan a las reclamaciones: crece con el recargo θ y decrece con la variabilidad y la cola de X. Para recargos pequeños se cumple la aproximación R = 2θμ/E[X²], que muestra que lo que importa no es solo la media de las reclamaciones sino su segundo momento.

La desigualdad de Lundberg acota la probabilidad de ruina para cualquier capital inicial con una exponencial decreciente. Es una cota superior y, por tanto, conservadora; además, el teorema de Cramér establece que ψ(u) se comporta asintóticamente como C·e^-Ru para una constante C < 1. En la práctica, duplicar el capital eleva al cuadrado el factor de ruina: si e^-Ru = 1% con u, con 2u es 0.01%.

El coeficiente de ajuste solo existe si la función generadora de momentos de X es finita en una vecindad de cero, es decir, para reclamaciones de cola ligera (exponencial, gamma, distribuciones acotadas). Con colas pesadas como Pareto o lognormal no existe R y la ruina decae mucho más despacio, de forma aproximadamente proporcional a la cola integrada de la distribución de reclamaciones. Esa es la razón técnica por la que los riesgos catastróficos y de responsabilidad civil requieren reaseguro de exceso de pérdida.

Cuando las reclamaciones son exponenciales con media μ = 1/β, la ecuación de Lundberg se resuelve a mano y la probabilidad de ruina tiene fórmula cerrada. Es el caso de referencia para entender el modelo y para validar programas de simulación. La fórmula muestra que la cota de Lundberg está sobrada exactamente por el factor 1/(1 + θ).

Para otras distribuciones la herramienta general es la fórmula de Pollaczek-Khinchine: la probabilidad de sobrevivir, 1 - ψ(u), es la distribución de una suma geométrica compuesta de los descensos récord del superávit, cuyos montos siguen la distribución de equilibrio de X. Se evalúa numéricamente con Panjer o simulación. La aproximación de De Vylder, que sustituye el proceso por uno con reclamaciones exponenciales ajustando tres momentos, da resultados muy precisos con cola ligera.

El insumo de todo lo anterior es la distribución del costo agregado S de un periodo. En el modelo individual se suman las pérdidas póliza por póliza; en el modelo colectivo se trata la cartera como una suma aleatoria de N reclamaciones, con N y los montos X_i independientes. El modelo colectivo es más manejable, admite frecuencia Poisson, binomial o binomial negativa, y para carteras grandes aproxima muy bien al individual.

Harry Panjer publicó en 1981 una recursión que calcula exactamente la distribución de S cuando la frecuencia pertenece a la clase (a, b, 0), es decir, cuando Pr(N = k)/Pr(N = k - 1) = a + b/k. Para Poisson, a = 0 y b = λ; para binomial negativa, a > 0; para binomial, a < 0. La severidad se discretiza en una malla de ancho h (con el método de redondeo o de igualación de momentos) y la recursión entrega la densidad agregada en cada punto de la malla, con un costo computacional del orden del cuadrado del número de puntos. Para carteras muy grandes se usa la transformada rápida de Fourier.

Con la distribución de S se obtienen primas con recargo, percentiles para capital, primas de reaseguro de exceso de pérdida agregado (stop loss) y la entrada para evaluar ruina en tiempo discreto. Es el puente entre la teoría de la ruina y la práctica de tarificación.

Cuando basta un percentil, la aproximación normal usa solo media y varianza de S. Funciona para carteras grandes con reclamaciones homogéneas, pero subestima la cola porque S es asimétrica a la derecha. La aproximación normal potencia (NP) corrige el cuantil normal con el coeficiente de asimetría γ mediante una expansión de Cornish-Fisher de primer orden. Otra alternativa de tres momentos es la gamma trasladada, que ajusta una gamma desplazada con la misma media, varianza y asimetría.

Las aproximaciones son razonables mientras γ sea moderada, digamos menor que uno. Con asimetrías mayores, típicas de carteras pequeñas o con exposición catastrófica, la NP se degrada y conviene usar Panjer, FFT o simulación. En el ejemplo de esta página, la NP reproduce el cuantil de 99.5% obtenido por simulación con 400,000 escenarios con una diferencia menor a 0.1%, mientras que la normal lo subestima en 1.7%.

El modelo de ruina ofrece tres palancas para controlar ψ(u): más capital, más recargo o menos riesgo retenido. El reaseguro actúa sobre la tercera, pero cuesta: el reasegurador cobra su propio recargo, así que la cedente cede más prima que costo esperado y su θ neto baja. El efecto neto depende de si la reducción de variabilidad compensa la pérdida de margen. Con un contrato proporcional (cuota parte) las reclamaciones retenidas son una fracción α de las originales, lo que divide el segundo momento entre α² y la media solo entre α; con exceso de pérdida se corta la cola, que es donde más se gana en coeficiente de ajuste.

La retención óptima en sentido de Lundberg es la que maximiza el coeficiente de ajuste neto de reaseguro. Resultados clásicos muestran que, a igual prima de reaseguro calculada con el principio del valor esperado, el exceso de pérdida por riesgo maximiza R entre todos los contratos. En la práctica la decisión se toma con modelos de capital económico, pero la intuición de Lundberg sigue siendo válida: reasegurar la cola es más eficiente que reasegurar proporcionalmente.

La probabilidad de ruina en horizonte infinito no es la métrica regulatoria. Los marcos modernos usan el valor en riesgo a un año: el capital es la diferencia entre un percentil alto de las pérdidas de un año y las primas y reservas disponibles. Las dos visiones se complementan: el percentil a un año mide la resistencia inmediata a un mal año y la ruina mide la sostenibilidad del modelo de negocio con un recargo dado. Más sobre el tema en Solvencia y Reaseguro.

La LISF no usa la probabilidad de ruina en horizonte infinito, sino un requerimiento de capital de solvencia (RCS) que, según su artículo 235, cubre las pérdidas imprevistas con un nivel de confianza de 99.5% a un horizonte de un año, salvo riesgos que requieran otros periodos. El RCS se calcula mensualmente con la fórmula general de la CNSF o con un modelo interno aprobado; para pensiones de la seguridad social y para riesgos catastróficos solo se admite la fórmula general. Los fondos propios admisibles deben cubrir el RCS en todo momento.

La dimensión dinámica, más cercana a la teoría de la ruina, está en la prueba de solvencia dinámica del artículo 245 de la LISF: al menos una vez al año, la institución proyecta su situación financiera bajo escenarios adversos para verificar que sus fondos propios admisibles seguirán cubriendo el RCS. Debe firmarla un actuario con cédula y certificación vigente o acreditación ante la CNSF, y se rige por el estándar de práctica del Anexo 7.3.1 de la CUSF.

El reaseguro es la palanca regulada: el artículo 258 faculta a la CNSF para fijar los procedimientos de límites máximos de retención y el artículo 260 obliga a las instituciones a fijarlos anualmente considerando su volumen de operaciones y sus riesgos. La lógica es la de Lundberg: la retención debe ser compatible con el capital y el margen de la institución.