Lección 1Por qué medir la variabilidad
La mejor estimación es una media. Para el margen de riesgo, el capital, el ajuste por riesgo de IFRS 17 o simplemente para saber si una desviación es normal, se necesita una medida de dispersión alrededor de esa media.
El error de predicción tiene dos partes: el error de proceso, porque aun conociendo el modelo exacto los siniestros futuros son aleatorios, y el error de estimación, porque los factores se estimaron con pocos datos. En triángulos pequeños la segunda suele pesar más de lo que se cree.
Lección 2El error estándar de Mack
Mack (1993) mostró que el chain-ladder con factores ponderados es insesgado bajo tres supuestos: la media del siguiente valor es proporcional al actual, su varianza también lo es (con parámetro \(\sigma_j^2\)) y los años de origen son independientes. Sin suponer ninguna distribución, derivó el error estándar:
\[\widehat{\mathrm{mse}}(\hat R_i)=\hat C_{i,n}^{2}\sum_{k=n+1-i}^{n-1}\frac{\hat\sigma_k^{2}}{\hat f_k^{2}}\left(\frac{1}{\hat C_{i,k}}+\frac{1}{\sum_{j=1}^{n-k}C_{j,k}}\right)\]
El primer término dentro del paréntesis es el error de proceso; el segundo, el de estimación. El error del total no es la suma de los errores por año, porque todos comparten los mismos factores estimados. En su versión original no incluye la cola; Mack publicó en 1999 una extensión que sí la incorpora.
Lección 3El bootstrap ODP
Renshaw y Verrall (1998) mostraron que un modelo lineal generalizado de Poisson sobredisperso (ODP) reproduce el chain-ladder. England y Verrall (2002) describen cómo simular su distribución: (1) se ajusta el modelo y se calculan los incrementos esperados; (2) se obtienen los residuos de Pearson y se ajustan por grados de libertad; (3) se remuestrean los residuos para crear miles de triángulos sintéticos; (4) en cada uno se recalculan los factores y se proyecta el futuro agregando ruido de proceso.
\[r_{i,j}=\frac{X_{i,j}-\hat m_{i,j}}{\sqrt{\hat m_{i,j}}},\qquad \hat\phi=\frac{\sum r_{i,j}^2}{N-p}\]
El resultado es una distribución completa de la reserva, de la que se leen la media, la desviación estándar y los percentiles. Exige incrementos positivos en cada columna y residuos sin patrones; si los hay, el modelo necesita ajustes antes de usarse.
Lección 4Uso e interpretación
Los percentiles del bootstrap alimentan el ajuste por riesgo de IFRS 17, el capital económico o pruebas de estrés. Conviene revisar siempre el coeficiente de variación por año: en los años maduros puede ser alto en términos relativos aunque el monto sea pequeño.
Ningún modelo de triángulo captura un cambio de régimen que no está en los datos: una reforma legal, una inflación distinta de la histórica o un cambio de mezcla. Esos riesgos se agregan con juicio, escenarios o márgenes explícitos. La variabilidad estimada es un mínimo, no un máximo.